Uwaga, fizyk na boisku!

Temat tego artykułu będzie dotyczył spraw bardzo przyziemnych, rzeczy z którymi ma do czynienia prawdopodobnie większość młodych chłopców i pewnie parę dziewczyn na całej Ziemi. Piłka nożna.
Czy zastanawiałeś się kiedyś jakie siły działają na piłkę podczas lotu? Jak zawodowi piłkarze podkręcają ją zaskakując golami niejednego kibica? Jak daleko można posłać taką piłkę?
Ja zacząłem się nad tym zastanawiać dzięki koledze, a teraz dam wam odpowiedzi na te i wiele innych pytań.

Rzuty, rzuty, rzuty

Stojąc na balkonie puszczasz piłkę na Ziemię, co obserwujesz? Okazuje się, że spada. To samo dzieje się gdy podrzucasz piłkę do góry – do pewnego momentu się wznosi, a potem spada.
Znowu opowiadam o rzeczach oczywistych, ale jak zawsze mam w tym swój cel. Powodem spadania różnych przedmiotów, jak wiesz, jest siła grawitacji działająca zawsze „w dół”. Fizycy też to zauważyli i od razu postanowili opisać matematycznie, co i ja postaram się uczynić.
Zapewne kojarzysz z fizyki coś takiego jak ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy (Aaa… coś było!).

Pierwszym i podstawowym wzorem jest równanie ruchu opisujące zależność przebytej drogi (s) od:

• czasu (t)
• prędkości początkowej (v_0)
• przyspieszenia (a)

Ma on postać:

Oznacza to, że znając prędkość początkową i przyspieszenie ciała możesz w zależności od czasu policzyć jaką przebyło drogę.
Potrzebny będzie też wzór na prędkość (v) w zależności od tych samych parametrów, co poprzednio:

Prosty, prawda? No to teraz przejdźmy do meritum, czyli do ruchu w polu grawitacyjnym.
Otóż, co pewnie też dobrze wiesz, każde ciało z racji działania siły grawitacji ma przyspieszenie zwane przyspieszeniem ziemskim, oznaczanym zazwyczaj literką g, o wartości:

No to teraz powrócimy do naszego balkonu. Dla podkręcenia trochę akcji załóżmy, że trzymasz za balustradą (na 10 piętrze) małego kotka, po czym ciska… Nie no żartuję, nie dzwoń po SOZ. Niech to na powrót będzie piłka.
Tak więc ciskasz nią, nadając dużą prędkość (być może próbujesz trafić znienawidzonego sąsiada przechodzącego niżej) i co się dzieje?
Zaczyna spadać z przyspieszeniem ziemskim. Znając wartość prędkości, korzystając ze wzoru na drogę, możesz policzyć jak daleko od twojego balkonu znajdzie się piłka po dowolnym czasie (oczywiście aż do momentu trafienia w ziemię). Pewnie jesteś już zachwycony, drogi Czytelniku, jednak to dopiero początek!

Teraz sprawa trochę trudniejsza. Co się stanie gdy podrzucisz na tym balkonie piłkę najpierw do góry z tą samą prędkością?
Piłka będzie leciała coraz wolniej i wolniej w górę, aż w pewnym momencie się zatrzyma i zacznie spadać.
Czy mijając twój balkon będzie miała większą prędkość niż ta z którą rzuciłeś ją do góry? Nie! Prędkość będzie dokładnie taka sama! Jeśli nie wierzysz możesz to w łatwy sposób policzyć.

Podczas ruchu piłki do góry przyspieszenie jest skierowane w dół, a prędkość w górę. W takim razie podstaw we wzorze pierwszym prędkość ujemną i rozwiąż, przyjmując poziom balkonu jako s = 0, równanie kwadratowe dla t. Teraz podstaw także w drugim wzorze prędkość ujemną i otrzymany wcześniej czas. Prędkość wyjdzie identyczna z początkową, tylko bez minusa, co oznacza, że jej wektor będzie skierowany w dół (na pewno).

Teraz przygotuj się na zagadnienie, które na zawsze zmieni twoje życie. Już nigdy ani strzał z procy, ruch kopniętej piłki, ani rzut broną na odległość (zawody odbywają się co roku w gminie Kobylin, link tutaj) nie będzie dla Ciebie tajemnicą! Mowa o rzucie ukośnym.

Do tej pory skupiliśmy się wyłącznie na ruchu piłki zgodnie lub przeciwnie do przyspieszenia grawitacyjnego, ale co się z nią stanie jeżeli rzucimy ją pod jakimś kątem?
Przenieśmy się myślami na boisko piłkarskie. Kopiąc piłkę pod pewnym kątem zauważasz, że porusza się ona zarówno do góry jak i do przodu.
Jej tor (pomijając na razie siły oporu ruchu) wygląda tak:

Rys. 1 Dla nieogarniętych – to nie jest kilka piłek, tylko jedna w kilku różnych miejscach w zależności od czasu (źródło).

Rozpiszmy to bardziej matematycznie, jak na poniższym rysunku:

Rys. 2 Przyjrzyj się temu rysunkowi bardzo uważnie, gdyż to na nim będę opierał dalsze opisy.

Na tym rysunku mamy pokazany wektor prędkości początkowej v₀ (ten zielony) i jakieś dziwne dwa wektory. v_0y (niebieski) jest rzutem wektora v₀ na oś OY, a v_0x (czerwony) to rzut wektora prędkości v₀ na oś OX. Co to oznacza?
Zgodnie z rachunkiem wektorowym można w ten sposób rozpisać wektor zielony, aby były to dwa wektory prostopadłe, których złożenie daje właśnie wektor wypadkowy. Na przykład jeżeli położysz na stole monetę i strzelisz w nią palcami jednocześnie od dołu i od lewej strony, to mimo iż każdy palec nadał prędkość w innym kierunku (prostopadle do drugiego) to moneta poleciała jednocześnie w prawo i do góry, czyli na ukos. Mam nadzieję, że przekonałem Cię, że można tak zrobić.

Pierwsze istotne spostrzeżenie:
Wektor prędkości równoległy do osi OX nie zmienia się, jeżeli zakładamy brak oporów ruchu, więc mamy ruch jednostajny!
Drugie istotne spostrzeżenie:
Wektor prędkości równoległy do osi OY zmienia się tak jakbyśmy rozpatrywali rzut pionowy do góry, otrzymujemy ruch jednostajnie zmienny!
Trzecie istotne spostrzeżenie:
Oba ruchy są od siebie niezależne!

O ile pierwsze dwa spostrzeżenia są mam nadzieję logiczne, o tyle trzecie może wydawać się nieprawdziwe.
Pomyślmy, jeżeli mamy na krawędzi stołu obok siebie dwie monety i równocześnie je popchniemy, ale jedną lekko, żeby spadła prosto na dół, a drugą mocniej, żeby wylądowała ze dwa metry dalej, to która spadnie szybciej?

Rys. 3 Składowa pionowa prędkości obu monet zmienia się dokładnie tak samo, w każdym momencie ruchu.

Okazuje się, że obie spadną równie szybko! Jeżeli nie wierzysz spróbuj sam.
Ten fakt dowodzi niezależności ruchu w pionie i w poziomie.

Powróćmy teraz do Rys. 2 i pobawmy się trochę wzorami.
Osoby nie znające trygonometrii muszą mi wierzyć na słowo, ale wzory na składowe prędkości wyglądają tak:

α to kąt pod jakim została kopnięta piłka.

Dzięki tej wiedzy mozna w łatwy sposób wyprowadzić wzory na czas trwania rzutu (t), zasięg rzutu (z) oraz maksymalną wysokość (h_max):

Z powyższych dwóch równań wynikają fascynujące wnioski.
Po pierwsze ze wzoru na zasięg wynika, że jest on maksymalny gdy kąt α jest równy 45° (sinus z 2*45° jest maksymalny i równy 1), czyli że najdalej kopniesz uderzając pod kątem 45°.
Po drugie maksymalna wysokość występuje dla kąta 90° (co jest oczywiste, bo kopiesz prosto w górę).

Myślę, iż powyższe równania ułatwiają zrozumienie, dlaczego piłki na boisku poruszają się w taki, a nie inny sposób.
A oto zdjęcie przedstawiające kilka z torów lotu na przykład piłki:
 

Rys. 4 Program do generowania takich wykresów możesz pobrać tutaj.

Piłkarze czasami stosują zagranie zwane lobem. Polega ono na podrzuceniu piłki nad mocno wysuniętym bramkarzem tak, aby nie mógł jej dosięgnąć w locie, a ona sama znalazła się na ziemi za nim. Uzyskują to właśnie dzięki zwiększeniu kąta pod jakim kopią piłkę, co widać na rysunku jako pierwszy wykres.

Teraz chciałbym się z Tobą podzielić doświadczeniem, które wprawiło mnie w osłupienie, gdy je pierwszy raz zobaczyłem. Spójrzmy na rysunek:

Rys. 5 Armatka trafia w puszkę w odległości H od elektromagnesu.

Mamy do dyspozycji armatkę z piłką skierowaną na puszkę utrzymywaną na pewnej wysokości przez elektromagnes. Doświadczenie polega na wystrzeleniu piłki dokładnie w momencie wyłączenia elektromagnesu, gdy puszka zacznie spadać. W rezultacie piłka trafia w puszkę. Pomyślisz pewnie „E tam manipulacja, prędkość jest jakoś tam dopasowana”. Otóż nie! Okazuje się, że dzieje się tak dla dowolnej prędkości piłki! Ale jak to możliwe?

Przyjmijmy na początku brak grawitacji (g=0). Wtedy po wyłączeniu elektromagnesu puszka pozostanie na swoim miejscu a piłka będzie się poruszała wzdłuż przerywanej czarnej linii i oczywiście trafi w puszkę.
Co jednak gdy g nie jest równe 0?
Widzimy, że podczas lotu piłka i puszka tracą dokładnie taką samą wysokość względem ich położenia końcowego, a ponadto im szybciej leci piłka tym czas jej lotu jest krótszy i wyżej trafia w puszkę. Ot i cała filozofia. Jeżeli nie wierzysz możesz sam spróbować przeprowadzić to doświadczenie, albo policzyć. Zapewniam, że poznana do tej pory wiedza pozwoli Ci na uzyskanie odpowiedzi :)

Proszę nie (w)stawiać oporu!

Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona jeżeli ciało zostanie wprawione w ruch i nie działa na nie żadna siła wypadkowa, będzie się ono poruszało w nieskończoność!
W takim razie dlaczego, gdy kopniesz piłkę to ona w końcu się zatrzymuje?
Być może pomyślisz sprytnie, że przecież działa siła grawitacji. Nic z tego, gdyż jest ona równoważona przez siłę reakcji na nacisk podłoża.
Prawidłową odpowiedzią jest siła tarcia. W każdym momencie ruchu na piłkę działa skierowana przeciwnie do jej ruchu siła tarcia, powodująca przyspieszenie ujemne i w konsekwencji zwalnianie przedmiotu aż do zatrzymania. Być może znałeś odpowiedź na to pytanie, ale prawda jest taka, że istnieje jeszcze jedna siła utrudniająca ruch, którą się teraz zajmiemy. Jest to opór powietrza.

Jeżeli byłeś kiedyś na basenie zauważyłeś zapewne, że nie da się cały czas płynąć bez ruszania kończynami?
Po odepchnięciu się od ściany po pewnym czasie zatrzymujesz się, ale przecież nie działa na ciebie siła tarcia od podłoża, więc co? Opór wody! Tak jak z tarciem, kiedy się poruszasz zaczyna na ciebie działać siła w przeciwną stronę, powodująca twoje zwalnianie aż do zatrzymania. Okazuje się, że podobnie jest z powietrzem. Gdyby na Ziemi nie było grawitacji, a ty rzuciłbyś przed siebie piłkę, po pewnym czasie zatrzymałaby się. Wzorek na wartość tej siły to:

C_D – wyznaczony doświadczalnie współczynnik oporu aerodynamicznego (zależy od kształtu przedmiotu)
ρ – gęstość powietrza
v – prędkość ciała względem powietrza
S_D – powierzchnia rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do wektora prędkości

Należy pamiętać, że wzór jest prawdziwy tylko dla niezbyt dużych prędkości, ale dla nas w zupełności wystarczy.
Tylko po co ci o tym mówię?
Jest nam to potrzebne do określenia jak porusza się piłka kopnięta przez zawodnika, w rzucie ukośnym.

W poprzednim przypadku nie uwzględnialiśmy oporów ruchu i nasze wykresy, jak na przykład na Rys. 4, były ładne i symetryczne. Niestety w rzeczywistości tak nie jest a tor (w tym wypadku dla pocisku) wygląda tak:

Rys. 6 Analogicznie wyglądają wszystkie rzuty ukośne w obecności powietrza. Autor: Tomasz Świderski.

Wzór opisujący ten ruch jest nazbyt skomplikowany, więc nie będę go przytaczał. Jednak dużo cennych informacji możemy wyczytać z samego rysunku.
Zauważmy, że znaczna różnica występuje za punktem wysokości maksymalnej, pocisk czy też piłka spadają szybciej niż przewiduje nasz wcześniejszy wzór. Wszystko przez znaczne zmniejszenie składowej prędkości równoległej do podłoża. Oznacza to znaczne różnice między zasięgiem bez oporów a tym z oporami co jest bardzo istotne dla piłkarzy. Ponadto współczynnik C dla piłki wynosi około 0.9, co w porównaniu z opływowym skrzydłem samolotu o C = 0.1 jest bardzo znaczące. Zauważ również, że ciężko bramkarzowi złapać tak nieregularnie poruszającą się piłkę. Ciekawe jest także to, że tor zależy również od temperatury powietrza! Zimne powietrze jest gęstsze, więc nasze ρ we wzorze zwiększa się i analogicznie gdy jest cieplej ρ się zmniejsza i piłka leci dalej.

Uderz rogalem na bliższy słupek!

W tym momencie przechodzimy do najciekawszej części tego artykułu. Pewnie myślisz sobie: „Niemożliwe, już ciekawiej być nie może!”, albo „Eee, ten post i tak jest denny i nic już mu nie pomoże”.
Niezależnie od tego w której grupie jesteś, zachęcam do uważnego przeczytania dalszej części.

Wiesz już bardzo dużo na temat tego, w jaki sposób porusza się piłka na boisku, jednak to tak naprawdę dopiero początek.
Jeżeli jesteś płci męskiej, to prawdopodobnie wielokrotnie „podkręcałeś” piłkę podczas strzału. Jednak co to w sumie oznacza?
Zacznijmy od początku. Spójrzmy na rysunek poniżej:

Rys. 7 Za piłką powstają turbulencje i niskie ciśnienie (źródło).

Podczas lotu piłki, tuż za nią zaczynają powstawać turbulencje, czyli małe wiry powietrza powodujące zmniejszenie ciśnienia za piłką i tym samym spychania jej do tyłu, co jest tożsame z naszą właśnie siłą oporu powietrza.
No dobra wiem, powtarzam się, więc teraz ciekawsza część – ruch wirowy piłki.
I na tę okazję mam rysunek:

Rys. 8 Zakładamy, że ruch powietrza jest laminarny, czyli uporządkowany i przewidywalny, ponieważ w innym przypadku (ruch turbulentny) byłoby o wiele bardziej skomplikowanie (źródło).

W momencie, gdy piłka kręci się podczas ruchu, również następuje zróżnicowanie ciśnień wokół niej, jednak tym razem nie jest to tylko siła oporu.
W miejscu, gdzie powierzchnia piłki porusza się zgodnie z prądem powietrza (na rysunku ta część u góry) powstaje niskie ciśnienie, natomiast tam gdzie powierzchnia piłki ma prędkość przeciwną do ruchu powietrza mamy podwyższone ciśnienie. No i tu mała dygresja.

Jeżeli wiesz jak działa skrzydło samolotu od razu dostrzegasz, że pojawia się siła działająca do góry na piłkę, a jeżeli nie to już tłumaczę. Chodzi o to, że skrzydło jest specjalnie wyprofilowane jak na poniższym rysunku:

Rys. 9 Tak w przybliżeniu zachowuje się powietrze wokół skrzydła samolotu.

Tam, gdzie linie prądów powietrza są gęściej „upakowane” mamy niskie ciśnienie, a tam gdzie rzadziej – wysokie. To powoduje „wypychanie” skrzydła do góry (powietrze pod ciśnieniem napiera na dół skrzydła), co nazywamy siłą nośną.

Teraz powróćmy do naszej futbolówki.
Tam sytuacja jest zupełnie analogiczna, różnica ciśnień powoduje działanie siły nazywanej siłą Magnusa (odkrył ją w 1853 roku Heinrich Gustav Magnus). Więc wszystko zależy od tego jak kręci się piłka.
Jeżeli tak jak na rysunku będzie wirowała w pionie – efekt taki można uzyskać podcinając piłkę nogą – będzie ona dłużej szybować w powietrzu i opadnie bardziej płasko, niż przy zwykłym rzucie ukośnym. Jeżeli jednak spin będzie nadany w kierunku poziomym, jak to zazwyczaj bywa przy strzałach z rzutu rożnego, siła będzie skręcać piłkę w stronę, w jaką będzie się ona kręciła. Należy jednak także pamiętać, że prędkość również ma znaczenie. Piłka poruszająca się bardzo szybko skręci niezauważalnie, więc istotne jest odpowiednie dobranie siły z jaką kopiemy.
Tak wygląda dobrze wykonany „rogal”, czyli gol z rzutu rożnego:

Rys. 10 Widok z góry. Siła Magnusa (kolor złoty) powoduje znaczne zakrzywienie toru lotu piłki, który normalnie byłby prosty i piłka nigdy nie miałaby szansy wlecieć w siatkę.

Jak to robią wprawni piłkarze? Kopiąc lewą nogą należy uderzyć piłkę, czy bardziej „przejechać” po niej wewnętrzną częścią stopy, natomiast dla prawej nogi używamy zewnętrznej części. Ważne jest także podbicie jej, tak aby szybowała do góry jak w rzucie ukośnym.

Na zakończenie nie sposób zapomnieć o fenomenalnym golu Roberto Carlosa – brazylijskiego piłkarza. Wkleję tu fragment artykułu z witryny Rzeczpospolita:

Naukowcy dopiero w 2010 roku wyjaśnili i opisali matematycznie ten fenomenalny strzał, poprzedzając to licznymi eksperymentami w wodzie. Okazuje się, że trajektoria piłki ma kształt spirali, co oznacza, że łagodny na początku tor jest nagle znacznie zakrzywiony i właśnie to spowodowało wpadnięcie piłki do bramki. Muszą być jednak spełnione odpowiednie warunki, dostatecznie duża odległość, bardzo duża siła i odpowiednia rotacja. Dlatego też tego typu gole widujemy bardzo rzadko.

To by było na tyle. Jak widać teoria stojąca za tak prostym sportem jak piłka nożna jest ogromna i skomplikowana, jednak znając podstawy można przewidzieć bardzo wiele. Następnym razem, gdy znajdziesz się na boisku będziesz mógł wykorzystać zdobytą wiedzę, ale nie radzę stawać na środku pola i obliczać trajektorii przed strzałem, bo może się to źle skończyć.